Question

在△ABC中，己知 ，sinB= sinCcos，又△ABC的面積為6(Ⅰ)求△ABC的三邊長；(Ⅱ)若D為BC邊上的一點，且CD=1，求 ．

Answer 1

(Ⅰ) 3，4，5；(Ⅱ)

解析試題分析：(Ⅰ)由及sinB= sinCcos得sinCcos= =  ，所以=0，因為，所以，所以 ，由平面向量數量積及三角形面積公式即可求出tanA的值，在Rt△ACB中，tanA=，求出，代入三角形面積公式求出，利用勾股定理求出c；(Ⅱ)由(Ⅰ)知tan∠BAC=，由三角函數定義知tan∠DAC=，利用兩角差的正切公式可求得tan∠BAD．
試題解析：(Ⅰ)設三邊分別為

∵，∴sin（A+C）=sinCcosA，
化為sinAcosC+cosAsinC=sinCcosA，
∴sinAcosC=0，可得
又
兩式相除可得
令
則
三邊長分別為3，4，5，     （8分）
(Ⅱ)由(Ⅰ)知tan∠BAC=，由三角函數定義知tan∠DAC=，
所以tan=tan(∠BAC-∠DAC)===        (12分)
考點：三角變換，平面向量數量積，三角形面積公式，運算求解能力