Question

（2011•揚州三模）理科附加題：
已知(1+

1

2

x)n展開式的各項依次記為a₁（x），a₂（x），a₃（x），…a_n（x），a_n+1（x）．
設F（x）=a₁（x）+2a₂（x）+3a₃（x），…+na_n（x）+（n+1）a_n+1（x）．
（Ⅰ）若a₁（x），a₂（x），a₃（x）的系數依次成等差數列，求n的值；
（Ⅱ）求證：對任意x₁，x₂∈[0，2]，恒有|F（x₁）-F（x₂）|≤2^n-1（n+2）．

Answer 1

分析：（I）利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，求出前三項的系數，據a₁（x），a₂（x），a₃（x）的系數依次成等差數列，列出方程求出n的值．
（II）先利用到序相加法求出F（2）-F（0）的值，利用導數判斷出F（x）的單調性，得證．

解答：解：（Ⅰ）依題意ak(x)=

C

k-1 n

(

1

2

x)k-1，k=1，2，3，…，n+1，
a₁（x），a₂（x），a₃（x）的系數依次為C_n⁰=1，

C

1 n

•

1

2

=

n

2

，

C

2 n

•(

1

2

)2=

n(n-1)

8

，
所以2×

n

2

=1+

n(n-1)

8

，
解得n=8；            
（Ⅱ）F（x）=a₁（x）+2a₂（x）+3a₃（x），…+na_n（x）+（n+1）a_n+1（x）=

C

0 n

+2

C

1 n

(

1

2

x)+3

C

2 n

(

1

2

x)2…+n

C

n-1 n

(

1

2

x)n-1+(n+1)

C

n n

(

1

2

x)n
F（2）-F（0）=2C_n¹+3C_n²…+nC_n^n-1+（n+1）C_nⁿ
設S_n=C_n⁰+2C_n¹+3C_n²…+nC_n^n-1+（n+1）C_nⁿ，
則S_n=（n+1）C_nⁿ+nC_n^n-1…+3C_n²+2C_n¹+C_n⁰
考慮到C_n^k=C_n^n-k，將以上兩式相加得：2S_n=（n+2）（C_n⁰+C_n¹+C_n²…+C_n^n-1+C_nⁿ）
所以S_n=（n+2）2^n-1
所以F（2）-F（0）=（n+2）2^n-1-1
又當x∈[0，2]時，F'（x）≥0恒成立，
從而F（x）是[0，2]上的單調遞增函數，
所以對任意x₁，x₂∈[0，2]，|F（x₁）-F（x₂）|≤F（2）-F（0）═（n+2）2^n-1-1＜（n+2）2^n-1．

點評：解決二項展開式的特定項問題常利用的工具是二項展開式的通項公式；求數列的前n項和問題關鍵是利用數列的通項公式的形式，選擇合適的方法．