Question

一個幾何體是由圓柱和三棱錐組合而成，點、、在圓的圓周上，其正（主）視圖、側（左）視圖的面積分別為10和12，如圖4所示，其中，，，．

（1）求證：；
（2）求三棱錐的體積．

Answer 1

(1) 證明過程詳見解析(2)

試題分析：
(1)要證明,只需要考慮證明AC垂直于BD所在的面,即面ABD,所以證明AC與AD,AB垂直即可,而AE與AD在同一條直線上且AE垂直于AC所在的一個面,根據線面垂直的性質,即可得到AC與AD垂直,而AC與AB垂直題目已給,所以能證明AC與面BCD垂直,進而證明AC與BD垂直.
(2)首先根據題目所給正視圖與側視圖的面積,求出三角形AOE的面積,得到AO的長,再根據OA等腰直角三顆星ABC斜邊的中線,即可求出等腰直角三顆星三條邊的長度,進而得到三角形的面積,根據正視圖的面積為三角形AOE與矩形的面積和得到AD的長,而所求三棱錐的體積可以分為三棱與兩個部分,兩部分都以三角形ABC為底面,分別以AE與AD為高,且都已知,進而可以求出三棱錐.
試題解析：
(1)證明:面(即面ABC)且面ABC
 
又且面ABD,
面ABD
面ABD

(2)因為正視圖和側視圖的面積分別為11和12,所以,又因為AE=2,所以OA=1,,因為正視圖的面積為11,所以,因為底面三角形ABC為等腰直角三角形且斜邊的中線OA=1,所以,又因為面ABC且面ABC,所以
,綜上.