Question

在矩形紙片內取n(n∈N^*)個點,連同矩形的4個頂點共(n+4)個點.這(n+4)個點中無三點共線.以這些點作三角形的頂點,把矩形紙片剪成若干個三角形紙片,把這些三角形紙片的個數記為a_n.

（1）求a₁,a₂;

(2)求數列{a_n}的遞推公式;

(3)根據遞推公式寫出數列{a_n}的前6項.

Answer 1

解：(1)a₁=4,a₂=6.

(2)因為這(n+4)個點中無三點共線,所以每增加1個點A_i(如上圖,點A_i必在某一個三角形內),剪成的三角形紙片必新增加3個(如上圖中的Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ),但減少了原來的1個,實際增加2個,所以{a_n}的遞推公式是a_n=a_n-1+2(n≥2).

(3)a₁=4,a₂=a₁+2=4+2=6,

a₃=a₂+2=6+2=8,a₄=a₃+2=8+2=10,

a₅=a₄+2=10+2=12,a₆=a₅+2=12+2=14.