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【題目】已知函數，其中.

（Ⅰ）討論的單調性；

（Ⅱ）當時，證明:；

（Ⅲ）求證:對任意正整數，都有 (其中為自然對數的底數).

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）見解析

【解析】

（Ⅰ）先求，再對 進行討論即可.

（Ⅱ）由題知即證，構造新函數設，利用導數只需即得證.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知,累加作和即得證.

（Ⅰ）易得，函數 ，

①當時，，所以在上單調遞增

②當時，令，解得 ．

當時，，所以，

所以在上單調遞減；

當時，，所以，

所以在上單調遞增．

綜上，當時，函數在上單調遞增；

當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增.

（Ⅱ）當 時，.

要證明，

即證，即. 即.

設則

令得，.

當時，，

當時，.

所以為極大值點，也為最大值點

所以.

即.

故.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，.

令，

則 ，

所以

,

即

所以.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為迎接“五一”節的到來，某單位舉行“慶五一，展風采”的活動．現有6人參加其中的一個節目，該節目由兩個環節可供參加者選擇，為增加趣味性，該單位用電腦制作了一個選擇方案：按下電腦鍵盤“Enter”鍵則會出現模擬拋兩枚質地均勻骰子的畫面，若干秒后在屏幕上出現兩個點數和，并在屏幕的下方計算出的值．現規定：每個人去按“Enter”鍵，當顯示出來的小于時則參加環節，否則參加環節．

（1）求這6人中恰有2人參加該節目環節的概率；

（2）用分別表示這6個人中去參加該節目兩個環節的人數，記，求隨機變量的分布列與數學期望．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設圓x2＋y2＋2x－15＝0的圓心為A，直線l過點B(1，0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.

(1)證明|EA|＋|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；

(2)設點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某景區的各景點從2009年取消門票實行免費開放后，旅游的人數不斷地增加，不僅帶動了該市淡季的旅游，而且優化了旅游產業的結構，促進了該市旅游向“觀光、休閑、會展”三輪驅動的理想結構快速轉變．下表是從2009年至2018年，該景點的旅游人數（萬人）與年份的數據：

第年

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

旅游人數（萬人）

300

283

321

345

372

435

486

527

622

800

該景點為了預測2021年的旅游人數，建立了與的兩個回歸模型：

模型①：由最小二乘法公式求得與的線性回歸方程；

模型②：由散點圖的樣本點分布，可以認為樣本點集中在曲線的附近．

（1）根據表中數據，求模型②的回歸方程．（精確到個位，精確到0．01）．

（2）根據下列表中的數據，比較兩種模型的相關指數，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預測2021年該景區的旅游人數（單位：萬人，精確到個位）．

回歸方程

①

②

30407

14607

參考公式、參考數據及說明：

①對于一組數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為．②刻畫回歸效果的相關指數；③參考數據：，．

5．5

449

6．05

83

4195

9．00

表中．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】2019年春節期間，我國高速公路繼續執行“節假日高速公路免費政策”某路橋公司為掌握春節期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費點記錄了大年初三上午9:20~10:40這一時間段內通過的車輛數，統計發現這一時間段內共有600輛車通過該收費點，它們通過該收費點的時刻的頻率分布直方圖如下圖所示，其中時間段9:20~9:40記作區間，9:40~10:00記作，10:00~10:20記作，10:20~10:40記作.例如：10點04分，記作時刻64.

（1）估計這600輛車在9:20~10:40時間段內通過該收費點的時刻的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）；

（2）為了對數據進行分析，現采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機抽取4輛，設抽到的4輛車中，在9:20~10:00之間通過的車輛數為X，求X的分布列與數學期望；

（3）由大數據分析可知，車輛在每天通過該收費點的時刻T服從正態分布，其中可用這600輛車在9:20~10:40之間通過該收費點的時刻的平均值近似代替，可用樣本的方差近似代替（同一組中的數據用該組區間的中點值代表），已知大年初五全天共有1000輛車通過該收費點，估計在9:46~10:40之間通過的車輛數（結果保留到整數）.

參考數據：若，則，，.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設△ABC的內角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且滿足a2＋c2－b2＝ac.

(1)求角B的大��；

(2)若2bcos A＝(ccosA＋acosC)，BC邊上的中線AM的長為，求△ABC的面積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數．

（1）若，求函數的最大值；

（2）令，討論函數的單調區間；

（3）若，正實數滿足，證明.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】對于函數f(x)，若存在區間A＝[m，n]，使得{y|y＝f(x)，x∈A}＝A，則稱函數f(x)為“同域函數”，區間A為函數f(x)的一個“同域區間”．給出下列四個函數：

①；②f(x)＝x2－1；③f(x)＝|2x－1|；④f(x)＝log2(x－1)．

存在“同域區間”的“同域函數”的序號是__________．(請寫出所有正確結論的序號)

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數f(x)＝2ax－x2－3ln x，其中a∈R，為常數．

(1)若f(x)在x∈[1，＋∞)上是減函數，求實數a的取值范圍；

(2)若x＝3是f(x)的極值點，求f(x)在x∈[1，a]上的最大值．

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