Question

【題目】已知函數，．，e為自然對數的底數．

（1）如果函數在(0，)上單調遞增，求m的取值范圍；

（2）若直線是函數圖象的一條切線，求實數k的值；

（3）設，，且，求證：．

Answer 1

【答案】（1）（2）1（3）見解析。

【解析】

（1）依題意h′（x）=ex﹣2mx≥0（0，+∞）上恒成立．即在（0，+∞）上恒成立．即求函數的最小值即可;（2）設切點，則切線方程為則進而得到，令對函數求導得到函數的單調性和零點即可得到k值（3）：要證，只要證，兩邊同時除以令x2﹣x1=t，t＞0，即證（t﹣2）et+t+2＞0，利用=（t﹣2）et+t+2，（t＞0）單調性即可證明

：（1），

要使在上單調遞增，則在上恒成立.

∴，∴，令，

當時，，單調遞減，當時，，單調遞增

∴當x=1時，有最小值為，∴

（2）∵，∴，設切點為，則

∴，令，

∴時，，單調遞減，當k＞1時，，單調遞增

∴k＝1時，，∴時，k＝1.∴實數k的值為1.

（3）要證

只要證，兩邊同時除以得：

，令得：

所以只要證：，令

∴，，∴

即，∴原不等式成立.