Question

已知函數f（x）=（x²+ax+a）e^x（a≤2，x∈R）
（1）若a=1，求函數y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）是否存在實數a，使得f（x）的極大值為3．若存在，求出a值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）把a=2代入，對函數求導，求得切線斜率及切點的坐標，從而可求切線方程；
（2）先求導函數，研究函數的單調區間，由單調區間求出函數的極大值，結合條件進行判斷即可．

解答：解：由題意知：f′（x）=（2x+a）e^x+（x²+ax+a）e^x=[x²+（a+2）x+2a]e^x…（2分）
（1）當a=1時，f′（x）=[x²+3x+2]e^x，則：f′（0）=2，f（0）=1…（4分）
所以函數y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為：y=2x+1…（6分）
（2）令：f′（x）=[x²+（a+2）x+2a]e^x=0，則：x²+（a+2）x+2a=0，所以：x=-2或x=-a…（7分）
1）當a=2時，f′（x）=（x+2）²e^x＞0，則函數在x∈R上單調遞增，故無極值．…（8分）
2）當a＜2時

x	（-∞，-2）	-2	（-2，-a）	-a	（-a，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）		極大		極小

所以：f（-2）=3，則a=4-3e²…（12分）

點評：本題以函數為載體，考查導數的運用，考查由函數的導數的符號變化研究函數的單調區間與極值，對于存在性問題常是先假設存在，再由假設推導，看是否產生矛盾．