Question

【題目】函數，若對恒成立，則實數的取值范圍是_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

由題意可得f（x）+f（x）＝2，f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2對θ∈R恒成立可轉化為，可令x＝sinθ+cosθ，則f（sin2θ）+f（sinθ+t）＞f（1+cos2θ）+f（1﹣cos2θ），可得f（sinθ+t）＞f（1+cos2θ）恒成立，可令x＝sinθ+cosθ，則可得f（sin2θ﹣t）＜f（1﹣sinθ﹣cosθ）恒成立，再由f（x）的單調性和參數分離，轉化為求最值，即可得到所求范圍．

解：f（x）＝x3+2019x﹣2019﹣x+1，

可得f（x）＝﹣x3+2019﹣x﹣2019x+1，

則f（x）+f（x）＝2，

f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2，

即為f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2＝f（x）+f（x），

f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2對θ∈R恒成立，

可令x＝sinθ+cosθ，則f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜f（sinθ+cosθ）+f（1﹣sinθ﹣cosθ），

可得f（sin2θ﹣t）＜f（1﹣sinθ﹣cosθ）恒成立，

由于f（x）在R上遞增，f（x）的圖象向右平移個單位可得f（x）的圖象，

則f（x）在R上遞增，

可得sin2θ﹣t＜1﹣sinθ﹣cosθ恒成立，

即有t＞sin2θ+sinθ+cosθ﹣1，

設g（θ）＝sin2θ+sinθ+cosθ﹣1＝（sinθ+cosθ）2+（sinθ+cosθ）﹣2

再令sinθ+cosθ＝m，則msin（θ），

則m，

則g（m）＝m2+m﹣2，其對稱軸m，

故當m時，g（m）取的最大值，最大值為22．

則t，

故答案為：（，+∞）