Question

已知f（x）=x²+ax+a（a≤2，x∈R），g（x）=e^x，φ（x）=．
（I）當a=1時，求φ（x）的單調區間；
（II）求φ（x）在x∈[1，+∞）是遞減的，求實數a的取值范圍；
（III）是否存在實數a，使φ（x）的極大值為3？若存在，求a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（I）當a=1時，φ（x）=（x²+x+1）e^-x．φ′（x）=e^-x（-x²+x）
當φ′（x）＞0時，0＜x＜1；當φ′（x）＜0時，x＞1或x＜0
∴φ（x）單調減區間為（-∞，0），（1，+∞），單調增區間為（0，1）；
（II）φ′（x）=e^-x[-x²+（2-a）x]
∵φ（x）在x∈[1，+∞）是遞減的，
∴φ′（x）≤0在x∈[1，+∞）恒成立，
∴-x²+（2-a）x≤0在x∈[1，+∞）恒成立，
∴2-a≤x在x∈[1，+∞）恒成立，
∴2-a≤1
∴a≥1
∵a≤2，，1≤a≤2；
（III）φ′（x）=（2x+a）e^-x-e^-x（x²+ax+a）=e^-x[-x²+（2-a）x]
令φ′（x）=0，得x=0或x=2-a：

由表可知，φ（x）_極大=φ（2-a）=（4-a）e^a-2
設μ（a）=（4-a）e^a-2，μ′（a）=（3-a）e^a-2＞0，
∴μ（a）在（-∞，2）上是增函數，
∴μ（a）≤μ（2）=2＜3，即（4-a）e^a-2≠3，
∴不存在實數a，使φ（x）極大值為3．
分析：（I）當a=1時，φ（x）=（x²+x+1）e^-x．先對函數y=φ（x）進行求導，然后令導函數大于0（或小于0）求出x的范圍，根據φ′（x）＞0求得的區間是單調增區間，φ′（x）＜0求得的區間是單調減區間，即可得到答案．
（II）求導函數，φ（x）在x∈[1，+∞）是遞減的，等價于φ′（x）≤0在x∈[1，+∞）恒成立，進一步可得2-a≤x在x∈[1，+∞）恒成立，由此可得a的取值范圍；
（III）假設存在實數a，使φ（x）的極大值為3，再利用導數工具，求出φ（x）的極大值，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．
點評：本小題主要考查利用導數研究函數的單調性、利用導數求閉區間上函數的最值，考查恒成立問題，屬于中檔題．