Question

如圖所示，平面EAD⊥平面ABCD，△ADE是等邊三角形，ABCD是矩形，F是AB的中點，G是AD的中點，EC與平面ABCD成30°角
（1）求證：EG⊥平面ABCD；
（2）若AD=2，求二面角E-FC-G的度數；
（3）當AD的長是多少時，D點到平面EFC的距離為2？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知中，△ADE是等邊三角形，G是AD的中點，結合等邊三角形“三線合一”的性質，易得EG⊥AD，又由平面EAD⊥平面ABCD，由面面垂直的性質可得EG⊥平面ABCD；
（2）連接CG，則CG是EC在平面ABCD的射影，結合已知中EC與平面ABCD成30°角，得∠ECG=30°，解Rt△ECG，Rt△CDG，求出GF，FC，GC的長，易根據勾股定理得到，GF⊥FC，EF⊥FC，故∠EFG是二面角E-FC-G的平面角，解三角形EFG，即可求出二面角E-FC-G的度數．
（3）根據V_E-DFC=V_D-EFC，通過計算底面積，從而可求AD的長

解答：解：（1）證明：如圖所示，∵△ADE是等邊三角形，
∴EG⊥AD
又平面EAD平面ABCD且相交于AD，
∴EG⊥平面ABCD
（2）連接CG，則CG是EC在平面ABCD的射影
∴∠ECG是EC與平面ABCD所成的角，
∴∠ECG=30°
在Rt△ECG中：
∵AD=2，
∴EG=

3

，
∴CG=3
在Rt△CDG中：
∵DG=1，GC=3，
∴DC=2

2

則AF=BF=

2

，GF=

3

，FC=

6

∴GF²+FC²=GC²，
即GF⊥FC
∵GF是EF在平面AC內的射影，
∴EF⊥FC
∴∠EFG是二面角E-FC-G的平面角．
在Rt△EGF中，EG=GF=

3

∴∠EFG=45°
故所求二面角E-FC-G的度數為45°
（3）設AD=2a，則可得S△DFC=2

2

a2，S_△EFC=3a²
∵V_E-DFC=V_D-EFC
∴

1

3

×3a2×2=

1

3

×2

2

a2×

3

a
∴a=

6

2

∴AD=

6

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，二面角的平面角的求法，求二面角的平面角，關鍵是要找出這個角，將空間求角問題，轉化為解三角形問題．