Question

2006年,一些城市對小型汽車開始解禁,小型轎車慢慢進入百姓家庭,但是另一個問題相繼暴露出來——堵車.某先生居住在城市的A處,準備開車到B處上班,若該地各路段發生堵車事件是相互獨立的,且在同一路段發生堵車事件最多只有一次,發生堵車事件的概率如圖.(例如A→C→D算作兩個路段:路段AC發生堵車事件的概率為,路段CD發生堵車事件的概率是)

(1)請你為他選擇一條由A到B的路段,使得途中發生堵車事件的概率最小;

(2)若記路線A→C→F→B中遇到堵車的次數為隨機變量ξ,求ξ的數學期望Eξ.

Answer 1

解:(1)記路段MN發生堵車事件為MN,因為各路段發生堵車都是相互獨立的,且在同一路段發生堵車事件最多只有一次,所以路線A→C→D→B中遇到堵車的概率為P₁.

P₁=1-P(··)=1-P()·P()·P()

=1-［1-P(AC)］［1-P(CD)］［1-P(DB)］

=1-××

=.                                                                     

同理,路線A→C→F→B遇到堵車的概率為(小于),路線A→E→F→B遇到堵車的概率為(大于).                                                         

顯然要使得由A到B的路線途中發生堵車事件的概率最小,只可能是在以上三條路線中選擇,因此選擇路線A→C→F→B,可使得途中發生堵車事件的概率最小.                  

(2)路線A→C→F→B中遇到堵車的次數ξ可能值為0、1、2、3.

P(ξ=0)=P,                                          

P(ξ=1)=P(AC·)+P(·CF·)+P(··FB)=,       

P(ξ=2)=P(CF··AC)+P(AC··FB)+P(·CF·FB)=,          

P(ξ=3)=P(AC·CF·FB)=,                                            

Eξ=0×.