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已知向量
m
=(2cosx,,2sinx)
n
=(cosx,,
3
cosx)
,函數f(x)=a
m
n
+b-a
(a、b為常數且x∈R).
(Ⅰ) 當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(Ⅱ) 是否存在非零整數a、b,使得當x∈[0,
π
2
]
時,f(x)的值域為[2,8].若存在,求出a、b的值;若不存在,說明理由.
分析:(I)根據已知中向量
m
=(2cosx,2sinx)
n
=(cosx,
3
cosx)
,我們可求出 當a=1,b=2時函數的解析式,根據正弦型函數的性質,即可得到(x)的最小值;
(Ⅱ)由已知中向量
m
=(2cosx,2sinx)
n
=(cosx,
3
cosx)
,我們可以計算出f(x)的解析式,進而求出函數在區間[0,
π
2
]
上的最值,進而根據f(x)的值域為[2,8],構造關于a,b的方程,解方程即可得到答案.
解答:解:(Ⅰ)∵向量
m
=(2cosx,2sinx)
,
n
=(cosx,
3
cosx)
,
 當a=1,b=2時,
函數f(x)=
m
n
+1
=2cos2x+2
3
sin x•cosx+1
=2sin(2x+
π
6
)+2,
當2sin(2x+
π
6
)=-1時,f(x)取最小值0
(II)∵f(x)=a
m
n
+b-a
=2asin(2x+
π
6
)+b
當x∈[0,
π
2
]
時,
f(x)的最小值為-a+b,f(x)的最大值為2a+b,
若f(x)的值域為[2,8].
則-a+b=2,且2a+b=8,
解得a=2,b=4.
點評:本題考查的知識點是三角函數的最值,正弦函數的值域,其中根據已知中向量
m
=(2cosx,2sinx)
n
=(cosx,
3
cosx)
,結合向量數量積公式,求出函數的解析式,是解答本題的關鍵.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知向量
m
=(2cosx,-
3
sin2x)
,
n
=(cosx,1),設函數f(x)=
m
n
,x∈R.
(Ⅰ)求函數f(x)的最小正周期和單調遞減區間;
(Ⅱ)若方程f(x)-k=0在區間[0,
π
2
]
上有實數根,求k的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•威海一模)已知向量
m
=(2cosx,
3
cosx-sinx),
n
=(sin(x+
π
6
),sinx)
,且滿足f(x)=
m
n

(I)求函數y=f(x)的單調遞增區間;
(II)設△ABC的內角A滿足f(A)=2,且
AB
AC
=
3
,求邊BC的最小值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知向量
m
=(2cosx,1)
,向量
n
=(cosx,
3
sin2x)
,函數f(x)=
m
n
+
2010
1+cot2x
+
2010
1+tan2x

(1)化簡f(x)的解析式,并求函數的單調遞減區間;
(2)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,已知f(A)=2012,b=1,△ABC的面積為
3
2
,求
1005(a+c)
sinA+sinC
的值.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

已知向量
m
=(2cosx,,2sinx)
,
n
=(cosx,,
3
cosx)
,函數f(x)=a
m
n
+b-a
(a、b為常數且x∈R).
(Ⅰ) 當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(Ⅱ) 是否存在非零整數a、b,使得當x∈[0,
π
2
]
時,f(x)的值域為[2,8].若存在,求出a、b的值;若不存在,說明理由.

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