Question

【題目】已知函數，其中．

（1）若函數在處取得極大值，求實數的值

（2）函數，當時，在處取得最大值，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由題意得出，可求得實數的值，然后將實數的值代入導數，就函數是否在處極大值進行檢驗，由此可得出實數的值；

（2）求得以及，對實數分、、三種情況討論，利用導數分析函數在區間的單調性，結合函數在處取得最值進行驗證或得出不等式，進而可求得實數的取值范圍.

（1），，

由題意可得，整理得，解得或.

當時，恒成立，

此時，函數在上單調遞增，無極值；

當時，.

令，得；令，得或.

此時，函數在處取得極大值，合乎題意.

綜上所述，；

（2），

.

①當時，對任意的恒成立，

此時，函數單調遞減，，合乎題意；

②當時，對于函數，恒成立，

設方程的兩根分別為、，則，設，則.

（i）若，則當時，，此時函數單調遞減；

當時，，此時函數單調遞增.

所以，，則，即，解得，

此時，解得，則；

（ii）當時，即，得，

則對任意的恒成立，此時，函數在區間上單調遞減，

則，合乎題意；

③當時，對任意的，，此時，函數在區間上單調遞減，

則，合乎題意.

綜上所述，實數的取值范圍是.