Question

（2013•和平區一模）已知函數f（x）=x-

2

x

-3lnx+1
（I）求函數f（x）的單調區間：
（II）求f（x）在區間[1，e²]上的值域；
（III）若函數g（x）=7f（x）+m-

16

x

-4x在[l，4]上取得最大值3，求實數m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接求出原函數的導函數，求出導函數的零點，由零點對函數定義域分段，利用導函數在各區間段內的符號判斷原函數的單調性；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知在區間（1，e²）內，當x=2時，f（x）取得極小值，求出f（1）和f（e²）的值，則f（x）在區間[1，e²]上的值域可求；
（Ⅲ）把函數f（x）解析式代入g（x）=7f（x）+m-

16

x

-4x，整理后利用導函數求出g（x）在[l，4]上取得最大值，由最大值等于3可求實數m的值．

解答：解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域為（0，+∞）．
f′(x)=1+

2

x2

-

3

x

=

x2-3x+2

x2

=

(x-1)(x-2)

x2

．
∴當x∈（0，1）時，f^′（x）＞0，f（x）為增函數．
當x∈（1，2）時，f^′（x）＜0，f（x）為減函數．
當x∈（2，+∞）時，f^′（x）＞0，f（x）為增函數．
∴f（x）的增區間為（0，1）（2，+∞），
減區間為（1，2）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知在區間（1，e²）內，當x=2時，f（x）取得極小值，
而f（1）=0，f（2）=2-3ln2，f(e2)=e2-

2

e2

-5．
∵f（2）＜f（1）＜f（e²），
∴f（x）在區間（1，e²）上的值域為[2-3ln2，e2-

2

e2

-5]；
（Ⅲ）由f(x)=x-

2

x

-3lnx+1及g(x)=7f(x)+m-

16

x

-4x，
得g(x)=3(x-

10

x

-7lnx)+7+m．
∴g′(x)=3(1+

10

x2

-

7

x

)=

3

x2

(x2-7x+10)=

3

x2

(x-2)(x-5)，x∈[1，4]
當x∈[1，2）時，g^′（x）＞0，g（x）在[1，2）上單調遞增；
當x∈（2，4]時，g^′（x）＜0，g（x）在（2，4]上單調遞減．
則g（x）在[1，4]上有最大值g（x）_max=g（2）=m-2ln2-2=3．
∴實數m的值為5+2ln2．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性，考查了函數值域的求法，考查了利用導數求函數在閉區間上的最值，解答的關鍵是正確求出基本初等函數的導函數，屬中高檔題．