Question

【題目】已知無窮數列的前項和為，且滿足，其中、、是常數.

（1）若，，，求數列的通項公式；

（2）若，，，且，求數列的前項和；

（3）試探究、、滿足什么條件時，數列是公比不為的等比數列.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），或或，．

【解析】

試題分析：（1）已知與的關系，要求，一般是利用它們之間的關系 ，把，化為，得出數列的遞推關系，從而求得通項公式；（2）與（1）類似，先求出，時，推導出與之間的關系，求出通項公式，再求出前項和；（3）這是一類探究性命題，可假設結論成立，然后由這個假設的結論來推導出條件，本題設數列是公比不為的等比數列，則，，代入恒成立的等式，得

對于一切正整數都成立，所以，，，得出這個結論之后，還要反過來，由這個條件證明數列是公比不為的等比數列，才能說明這個結論是正確的．在討論過程中，還要討論的情況，因為時，，，當然這種情況下，不是等比數列，另外 ．

試題解析：（1）由，得； 1分

當時，，即2分

所以； 1分

（2）由，得，進而， 1分

當時，

得，

因為，所以， 2分

進而2分

（3）若數列是公比為的等比數列，

①當時，，

由，得恒成立.

所以，與數列是等比數列矛盾； 1分

②當，時，，， 1分

由恒成立，

得對于一切正整數都成立

所以，或或，3分

事實上，當，或或，時，

，時，，得或

所以數列是以為首項，以為公比的等比數列 2分