Question

已知{a_n}是各項均為正數的等比數列，a₁=2，a₃=18，其前 n項和為S_n；{b_n}是等差數列，b₁=2，其前n項和為T_n，若S₃=T₄．
（1）求數列{b_n}的通項公式；
（2）設P_n=b₁+b₄+b₇+…+b_3n-2，Q_n=b₁₀+b₁₂+b₁₄+…+b_2n+8，試比較P₁₉與Q₁₉的大小．

Answer 1

分析：（1）設{a_n}的公比是q，{b_n}的公差為d，根據題意建立關于q、d的方程并解出q=d=3，結合等差數列的通項公式，即可得到數列{b_n}的通項公式；
（2）由等差數列的性質，可得b₁、b₄、b₇、…、b_3n-2組成以新的等差數列，結合等差數列求和公式算出P_n=

1

2

（9n²-5n），可得P₁₉=1577；同理可以算出Q_n=3n²+26n，從而Q₁₉=1577，得到P₁₉與Q₁₉的大小關系是相等．

解答：解：（1）設{a_n}的公比是q，{b_n}的公差為d
由

a1=2 a3=18 an＞0

，可得

a1=2 q =3

，得a_n=2•3^n-1        （2分）
由S₃=T₄，可得

2(1-33)

1-3

=2n+

n(n-1)

2

d，得公差d=3       （4分）
∴b_n=2+3（n-1）=3n-1；                     （6分）
（2）∵{b_n}是等差數列，公差為d
∴b₁、b₄、b₇、…、b_3n-2，…組成以3d為公差的等差數列
∴P_n=

n(2+9n-7)

2

=

1

2

（9n²-5n），取n=19得P₁₉=1577            （9分）
同理可得Q_n=

n(29+6n+23)

2

=3n²+26n，取n=19得Q₁₉=1577       （12分）
∴P₁₉=Q₁₉．

點評：本題給出等差數列和等比數列滿足的條件，求它們的通項公式，并比較兩個前n項和的大�。�著重考查了等差數列與等比數列的通項公式、前n項和公式等知識，屬于中檔題．