Question

（2009•襄陽模擬）己知a≠0，函數f（x）=x³+ax²-a²x-1，二次函數g（x）=ax²-x-1．
（1）若a＜0，求函數y=f（x）的單調區間；
（2）當函數y=g（x）存在最大值且y=f（x）與y=g（x）的圖象只有一個公共點時，記y=g（x）的最大值為h（a），求函數h（a）的解析式；
（3）若函數y=f（x）與y=g（x）在區間（a-2，a）內均為增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出導函數f′（x），在函數的定義域內解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，即可求出函數的單調區間；
（2）根據函數y=f（x）與g（x）的圖象只有一個公共點，可求出a的范圍，根據a的范圍求出y=g（x）在區間[-1，0）上的最小值為h（a）即可．
（3）討論a的正負，根據函數y=f（x）與y=g（x）的單調增區間是區間 （a-2，a）的子集建立方程組，解之即可；

解答：（1）解：f′（x）=3x²+2ax-a²=3（x-

a

3

）（x+a）
∵a＜0，
∴

a

3

＜-a
故函數f （x）在區間（-∞，

a

3

）、（-a，+∞）上單調遞增，在（

a

3

，-a）上單調遞減（4分）
（2）解：∵二次函數g（x）=ax²-x-1有最大值，
∴a＜0（5分）
由f（x）=g（x）得：x（x²-a²+1）=0（6分）
∵函數y=f（x）與g（x）的圖象只有一個公共點，
∴-a²+1≥0得-1≤a≤1，又a＜0，
∴-1≤a＜0（8分）
又g（x）=a(x-

1

2a

)2-

1

4a

-1，
∴h（a）=-

1

4a

-1（-1≤a＜0）（10分）
（3）解：當a＜0時，函數f （x）在區間（-∞，

a

3

）、（-a，+∞）上單調遞增，
函數g （x）在區間（-∞，

1

2a

）上單調遞增
∴

a≤ a 3 a≤ 1 2a

得a≤-

2

2

（12分）
當a＞0時，函數f （x）在區間（-∞，-a）、（

a

3

，+∞）上單調遞增，
函數g （x）在區間（

1

2a

，+∞）上單調遞增
∴

a-2≥ a 3 a-2≥ 1 2a

得a≥3
綜上所述，實數a的取值范圍是（-∞，-

2

2

]∪[3，+∞）（13分）

點評：本題主要考查導函數的正負與原函數的單調性之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減，以及圖象交點的問題，常常轉化成方程根的個數，屬于中檔題．