Question

已知三棱錐的三個側面兩兩垂直，三條側棱長分別為4，4，7，若此三棱錐的各個頂點都在同一個球面上，則此球的表面積是

 

．

Answer 1

分析：利用三棱錐三個側面兩兩垂直，構造長方體，則長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑即可求出球的表面積．

解答：解：∵三棱錐的三個側面兩兩垂直
∴構造側棱長分別為4，4，7長方體，
則長方體的體對角線為外接球的直徑，
設球半徑為r，
則長方體的體對角線長為

42+42+72

=

81

=9，
則2r=9，則r=

9

2

即三棱錐外接球的半徑r=

9

2

，
∴三棱錐外接球的表面積為4πr²=4×（

9

2

）²π=81π．
故答案為：81π．

點評：本題主要考查球的表面積公式的計算，根據三棱錐的側面關系構造長方體，根據長方體的體對角線和球直徑之間的關系求出球半徑是解決本題的關鍵．