Question

設曲線y=e^-x（x≥0）在點M（t，c^-1c）處的切線l與x軸y軸所圍成的三角表面積為S（t）．
（Ⅰ）求切線l的方程；
（Ⅱ）求S（t）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據導數的幾何意義即為點的斜率，對函數y=e^-x（x≥0）在點M（t，c^-1c）進行求導，然后根據電斜式求出切線方程；
（Ⅱ）根據三角形面積公式用t表示出S（t），然后由題意先對函數S進行求導，解出極值點，然后再根據函數的定義域，
把極值點代入已知函數，從而求解．

解答：解：（Ⅰ）因為f'（x）=（e^-x）'=-e^-x，
所以切線l的斜率為-e^-1，
故切線l的方程為y-e^-t=-e^-t（x-t）．
即e^-tx+y-e^-1（t+1）=0
（Ⅱ）令y=0得x=t+1，
又令x=0得y=e^-t（t+1）
所以S（t）=

1

2

(t+1)•e-1(t+1)
=

1

2

(t+1)2e-1
從而S′(t)=

1

2

e-1(1-t)(1+t).
∵當t∈（0，1）時，S'（t）＞0，
當t∈（1，+∞）時，S'（t）＜0，
所以S（t）的最大值為S（1）=

2

e

．

點評：此題主要還是考查導數的定義及利用導數來求區間函數的最值，利用導數研究函數的單調性和極值、解不等式等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力，解題的關鍵是求導要精確．