Question

【題目】如圖,三棱柱中, ,,平面平面， 與相交于點.

（1）求證： ；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）二面角的余弦值是.

【解析】試題分析：（1）首先菱形的性質推出，然后利用面面垂直的性質推出平面，從而根據線面垂直的性質使問題得證；（2）以為原點建立空間直角坐標系，然后分別求出相關點的坐標與向量，由此求得平面與平面法向量，從而利用空間夾角公式求解即可．

試題解析：（1）已知側面是菱形， 是的中點，∵，∴．

∵平面平面，且平面，平面 平面 ，

∴平面， .

（2）如圖，以為原點，以， ， 所在直線分別為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標系，由已知可得， ， ， ，

∴， ， ， ， ，

設平面的一個法向量是， ，

由， ,

得，可得

∵平面 平面， ，∴平面，

∴平面的一個法向量是,

∴，即二面角的余弦值是.