Question

（2013•江蘇）設{a_n}是首項為a，公差為d的等差數列（d≠0），S_n是其前n項和．記bn=

nSn

n2+c

，n∈N^*，其中c為實數．
（1）若c=0，且b₁，b₂，b₄成等比數列，證明：Snk=n2Sk（k，n∈N^*）；
（2）若{b_n}是等差數列，證明：c=0．

Answer 1

分析：（1）寫出等差數列的通項公式，前n項和公式，由b₁，b₂，b₄成等比數列得到首項和公差的關系，代入前n項和公式得到S_n，在前n項和公式中取n=nk可證結論；
（2）把S_n代入bn=

nSn

n2+c

中整理得到b_n=

(n-1)d+2a

2

-

c (n-1)d+2a 2

n2+c

，由等差數列的通項公式是a_n=An+B的形式，說明

c (n-1)d+2a 2

n2+c

=0，由此可得到c=0．

解答：證明：（1）若c=0，則a_n=a₁+（n-1）d，Sn=

n[(n-1)d+2a]

2

，bn=

nSn

n2

=

(n-1)d+2a

2

．
當b₁，b₂，b₄成等比數列時，則b22=b1b4，
即：(a+

d

2

)2=a(a+

3d

2

)，得：d²=2ad，又d≠0，故d=2a．
因此：Sn=n2a，Snk=(nk)2a=n2k2a，n2Sk=n2k2a．
故：Snk=n2Sk（k，n∈N*）．
（2）bn=

nSn

n2+c

=

n2 (n-1)d+2a 2

n2+c

=

n2 (n-1)d+2a 2 +c (n-1)d+2a 2 -c (n-1)d+2a 2

n2+c

=

(n-1)d+2a

2

-

c (n-1)d+2a 2

n2+c

．  ①
若{b_n}是等差數列，則{b_n}的通項公式是b_n=A_n+B型．
觀察①式后一項，分子冪低于分母冪，
故有：

c (n-1)d+2a 2

n2+c

=0，即c

(n-1)d+2a

2

=0，而

(n-1)d+2a

2

≠0，
故c=0．
經檢驗，當c=0時{b_n}是等差數列．

點評：本題考查了等差數列和等比數列的性質，考查了等差數列的前n項和，考查了學生的運算能力，解答此題的關鍵是理解并掌握非常數等差數列的通項公式是關于n的一次函數，此題是中檔題．