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【題目】已知橢圓的中心在原點,焦點在軸上,它的一個頂點恰好是拋物線的焦點,離心率等于.

(1)求橢圓的標準方程;

(2)過橢圓的右焦點作直線交橢圓兩點,交軸于點,若,求證為定值.

【答案】(1);(2)證明見解析.

【解析】

(1)分析題意可得b1,再根據離心率的表達式和a,b,c之間的系數關系可求得標準方程

(2)將直線與橢圓方程進行聯立,利用韋達定理,再結合題意即可

(1)設橢圓的標準方程為為,

由題b=1,.即,

∴橢圓C的方程為.

(2)方法一:設A、BM點的坐標分別為A(x1,y1),B(x2y2),M(0,y0).易知F點的坐標為(2,0).,

∴(x1y1y0)=λ1(2-x1,-y1),,

A點坐代入到橢圓方程中,得,

去分母整理得.同理,由,

可得,∴λ1,λ2是方程的兩個根,∴λ1λ2=-10.故λ1λ2為定值.

方法二:設A、BM點的坐標分別為A(x1,y1),B(x2y2),M(0,y0).又易知F點的坐標為(2,0).顯然直線存在斜率,設直線的斜率為k,則直線的方程是yk(x-2).將直線的方程代入到橢圓C的方程中,消去y并整理得(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0. .

,將各點坐標代入得

,

,

λ1λ2為定值.

練習冊系列答案
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【題目】下列命題中正確的是(

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摸球方法:從袋中隨機摸出3個球,若摸得同一顏色的3個球,攤主送給摸球者5元錢;若摸得非同一顏色的3個球,摸球者付給攤主1元錢.

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2)摸出的3個球為2個黃球1個白球的概率是多少?

3)假定一天中有100人次摸獎,試從概率的角度估算一下這個攤主一個月(按30天計)能賺多少錢?

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(1)求軌跡的方程;

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(ii)在(i)的條件下,求面積的最小值.

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