Question

【題目】已知焦點在軸的橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數，且過點.

（1）求橢圓方程；

（2）若直線與橢圓交于不同的兩點，點，有，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）根據雙曲線離心率求得橢圓離心率，即得的關系，根據用表示出，即可設出橢圓方程，把點代入即可求得橢圓方程；（2）說明點在線段的垂直平分線上，根據整理方程組，由建立不等式，由韋達定理求得的中點坐標，可得垂直平分線方程，把中點坐標代入垂直平分線方程即可建立的關系，代入即可求得的范圍.

試題解析：（1）雙曲線，即的離心率為.由題意可得，橢圓的離心率，設橢圓方程為，∴橢圓方程為.又點在橢圓上，∴，∴橢圓的方程為.

（2）設，由，消去并整理得，

∵直線與橢圓有兩個交點，，即，

又，∴中點的坐標為，即為，所以在的垂直平分線上，設的垂直平分線方程：，∵在上，

∴，得，

將上式代入①式得，即或，

∴的取值范圍為.