Question

已知數列{a_n}滿足a₁=

1

4

，a_n=

an-1

(-1)nan-1-2

（n≥2，n∈N）．
（1）試判斷數列{

1

an

+(-1)n}是否為等比數列，并說明理由；
（2）設b_n=

1

an2

，求數列{b_n}的前n項和S_n；
（3）設c_n=a_nsin

(2n-1)π

2

，數列{c_n}的前n項和為T_n．求證：對任意的n∈N^*，T_n＜

4

7

．

Answer 1

分析：（1）根據題意，對

1

an

=(-1)n-

2

an-1

進行變形可得

1

an

+(-1)n=(-2)[

1

an-1

+(-1)n-1]，從而證得結論；
（2）根據（1）求出數列a_n，從而求得b_n，利用分組求和法即可求得結果；
（3）首先確定出數列{c_n}的通項公式，利用放縮的思想將數列的每一項進行放縮，轉化為特殊數列的求和問題達到證明不等式的目的．

解答：解：（1）∵

1

an

=(-1)n-

2

an-1

，
∴

1

an

+(-1)n=(-2)[

1

an-1

+(-1)n-1]，
又∵

1

a1

+(-1)=3，
∴數列{

1

an

+(-1)n}是首項為3，公比為-2的等比數列．
（2）依（1）的結論有

1

an

+(-1)n=3(-2)n-1，
即an=

(-1)n-1

3•2n-1+1

．
b_n=（3•2^n-1+1）²=9•4^n-1+6•2^n-1+1．
Sn=9•

1•(1-4n)

1-4

+6•

1•(1-2n)

1-2

+n=3•4n+6•2n+n-9．
（3）∵sin

(2n-1)π

2

=(-1)n-1，
∴cn=

(-1)n-1

3(-2)n-1-(-1)n

=

1

3•2n-1+1

．
當n≥3時，
則Tn=

1

3+1

+

1

3•2+1

+

1

3•22+1

+…+

1

3•2n-1+1

＜

1

4

+

1

7

+

1

3•22

+

1

3•23

+…+

1

3•2n-1

=

11

28

+

1 12 [1-( 1 2 )n-2]

1- 1 2

=

11

28

+

1

6

[1-(

1

2

)n-2]＜

11

28

+

1

6

=

47

84

＜

48

84

=

4

7

．
∵T₁＜T₂＜T₃，
∴對任意的n∈N^*，Tn＜

4

7

．

點評：本題考查數列的遞推公式確定數列的思想，根據遞推公式確定出數列是否滿足特殊數列的定義，考查學生的轉化與化歸思想．第（3）問考查學生的不等式放縮的技巧與方法，關鍵要將數列{c_n}的每一項進行放縮轉化為特殊數列從而達到求和證明的目的，屬難題．