Question

如圖，已知曲線與拋物線c₂：x²=2py（p＞0）的交點分別為A、B，曲線c₁和拋物線c₂在點A處的切線分別為l₁、l₂，且l₁、l₂的斜率分別為k₁、k₂．
（Ⅰ）當為定值時，求證k₁•k₂為定值（與p無關），并求出這個定值；
（Ⅱ）若直線l₂與y軸的交點為D（0，-2），當a²+b²取得最小值9時，求曲線c₁和c₂的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用導數分別求l₁、l₂的斜率分別為k₁、k₂．進而可求k₁•k₂，利用點A在曲線c₁和拋物線c₂上，結合為定值時可得結論．
（Ⅱ）設A點的坐標為，利用l₂過點D（0，-2），則x²=4p，從而可求點的坐標代入曲線c₁的方程得．從而利用基本不等式可求a²+b²最小值，注意等號成立的條件．
解答：解：（Ⅰ）設點A的坐標為（x，y），
由得：
則，∴…2′
由x²=2py（p＞0）得，∴…4′
∴
又∵x²=2py，，∴．
∴為定值．…6′
（Ⅱ）如圖設A點的坐標為，則x∈（-a，0）．
由（Ⅰ）知：，則直線．
∵l₂過點D（0，-2），則x²=4p，即，∴點．…8′
將代入曲線c₁的方程得．
∴．
由重要不等式得．…10′
當且僅當“=”成立時，有，解得
∴，c₂：y=2x²．…13′
點評：本題的考點是直線與圓錐曲線的綜合問題，主要考查橢圓與拋物線的位置關系，考查利用基本不等式求最值．