Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC與BD相交于點O，且頂點P在底面上的射影恰為O點，又BO=2,PO=,PB⊥PD.

(Ⅰ)求異面直接PD與BC所成角的余弦值；

(Ⅱ)求二面角P－AB－C的大小；

(Ⅲ)設點M在棱PC上，且問為何值時，PC⊥平面BMD.

Answer 1

解法一：

，

又

由平面幾何知識得：

（Ⅰ）過做交于于，連結，則或其補角為異面直線與所成的角，

∵四邊形是等腰梯形，

∵

又

四邊形是平行四邊形。

 ，

 是的中點，且

 

又，

為直角三角形，

在中，由余弦定理得

故異面直線PD與所成的角的余弦值為

（Ⅱ）連結，由（Ⅰ）及三垂線定理知，為二面角的平面角

   ，

   

  ∴二面角的大小為

（Ⅲ）連結，

，，

又在中，

，，，

，

故時，

解法二：

 

 

 又，，

由平面幾何知識得：

以為原點，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則各點坐標為

，，，，，

（Ⅰ），

       ，

       。

   。

故直線與所成的角的余弦值為

（Ⅱ）設平面的一個法向量為，

由于，，

由   得  

取，又已知平面ABCD的一個法向量，

又二面角為銳角，

所求二面角的大小為

（Ⅲ）設，由于三點共線，，

，

∴（-1，0，-）=0

∴

由（1）（2）知：

 ，。

故時，。