Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四邊形ACFE是矩形，AE=a，點M在線段EF上．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面ACFE；
（Ⅱ）當EM為何值時，AM∥平面BDF？證明你的結論．

Answer 1

解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵AD=DC=CB=a，∠ABC=60°
∴四邊形ABCD是等腰梯形，
且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120
∴∠ACB=90，∴AC⊥BC
又∵平面ACF⊥平面ABCD，交線為AC，∴BC⊥平面ACFE．

（Ⅱ）當EM=時，AM∥平面BDF．
在梯形ABCD中，設AC∩BD=N，連接FN，則CN：NA=1：2．
∵EM=而 EF=AC=，∴EM：FM=1：2．∴EM∥CN，EM=CN，
∴四邊形ANFM是平行四邊形．∴AM∥NF．
又NF?平面BDF，AM?平面BDF．∴AM∥平面BDF．
分析：（Ⅰ）由已知，若證得AC⊥BC，則據面面垂直的性質定理即可．轉化成在平面ABCD，能否有AC⊥BC，易證成立．
（Ⅱ）設AC∩BD=N，則面AMF∩平面BDF=FN，只需AM∥FN即可．而CN：NA=1：2．故應有EM：FM=1：2
點評：本題考查線面位置關系及判定，考查空間想象能力，計算能力，轉化能力．