Question

（1）在學習函數的奇偶性時我們知道：若函數y=f（x）的圖象關于點P（0，0）成中心對稱圖形，則有函數y=f（x）為奇函數，反之亦然；現若有函數y=f（x）的圖象關于點P（a，b）成中心對稱圖形，則有與y=f（x）相關的哪個函數為奇函數，反之亦然．
（2）將函數g（x）=x³+6x²的圖象向右平移2個單位，再向下平移16個單位，求此時圖象對應的函數解釋式，并利用（1）的性質求函數g（x）圖象對稱中心的坐標；
（3）利用（1）中的性質求函數h（x）=log₂

1-x

4x

圖象對稱中心的坐標，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）若函數y=f（x）的圖象關于點P（a，b）成中心對稱圖形，則將函數圖象平移后，對稱中心與原點重合時，該函數為奇函數，此時應向左平移a個單位，再向下平移b個單位，根據平移變換法則，可得答案．
（2）根據平移變換法則，可得函數g（x）=x³+6x²的圖象平移后對應的函數解析式，分析其奇偶性后，結合（1）中結論可得原函數的對稱中心．
（3）設函數h（x）=log₂

1-x

4x

圖象向左平移a個單位，再向下平移b個單位后關于原點對稱，即對應函數為奇函數，根據奇函數的定義，可求出a，b的值，結合（1）的結論可得原函數的對稱中心的坐標．

解答：解：（1）函數y=f（x）的圖象關于點P（a，b）成中心對稱圖形，
則將函數圖象平移后，對稱中心與原點重合時，該函數為奇函數，
此時應向左平移a個單位，再向下平移b個單位，
此時函數的解析式為：y=f（x+a）-b
（2）函數g（x）=x³+6x²的圖象向右平移2個單位，再向下平移16個單位，
所得函數y=（x-2）³+6（x-2）²-16，化簡得y=x³為奇函數，即y=g（x-2）-16為奇函數，
故函數g（x）圖象對稱中心的坐標為（-2，16）
（3）設y=h（x+a）-b=log₂

1-(x+a)

4(x+a)

-b=log₂

1-x-a

4x+4a

-b是奇函數，
則log₂

1+x-a

-4x+4a

-b+（log₂

1-x-a

4x+4a

-b）=0，
即log₂（

1+x-a

-4x+4a

•

1-x-a

4x+4a

）-2b=0，即log₂

(1-a)2-x2

16(a2-x2)

-2b=0，
得

(1-a)2-x2

16(a2-x2)

=2^2b，得（1-a）²-x²=2^2b（16a²-16x²），
即（16•2^2b-1）x²+（1-a）²-2^2b•16a²=0．
由x的任意性，得16•2^2b-1=0，（1-a）²-2^2b•16a²=0，
解得b=-2，a=

1

2

．
∴函數h（x）圖象對稱中心的坐標為（

1

2

，-2）

點評：本題考查的知識點是函數圖象的平移變換，奇函數的定義和判定，熟練掌握函數圖象的平移變換法則“左加右減，上加下減”是解答的關鍵．