Question

已知角A、B、C為△ABC的三個內角，其對邊分別為a、b、c，若＝(－cos，sin)，＝(cos，sin)，a＝2，且·＝．
（1）若△ABC的面積S＝，求b＋c的值．
（2）求b＋c的取值范圍．

Answer 1

（1）4;（2）(2，4]

試題分析：（1）由＝(－cos，sin)，＝(cos，sin)，且·＝．可求得角A的值，又因為△ABC的面積S＝，a＝2，在三角形中利用余弦與三角形的面積公式，即可解出b,c的值或者直接構造b+c，即可得到結論．
（2）由（1）可知角A，以及邊長．用角B結合正弦定理分別表示出b,c．再結合角B的范圍，求出b+c的取值范圍即可．
（1）∵＝(－cos，sin)，＝(cos，sin)，且·＝，
∴－cos²＋sin²＝，即－cosA＝，
又A∈(0，π)，∴A＝．       …………3分
又由S△ABC＝bcsinA＝，所以bc＝4，
由余弦定理得：a²＝b²＋c²－2bc·cos＝b²＋c²＋bc，
∴16＝(b＋c)²，故b＋c＝4．………7分
（2）由正弦定理得：＝＝4，又B＋C＝p－A＝，
∴b＋c＝4sinB＋4sinC＝4sinB＋4sin(－B)＝4sin(B＋)，         12分
∵0＜B＜，則＜B＋＜，則＜sin(B＋)≤1，即b＋c的取值范圍是(2，4]…．．14分