Question

【題目】定義在上的函數，如果存在函數（為常數），使得對一切實數都成立，則稱為函數的一個承托函數．給出如下命題：

① 函數是函數的一個承托函數；

② 函數是函數的一個承托函數；

③ 若函數是函數的一個承托函數，則的取值范圍是；

④ 值域是的函數不存在承托函數。 其中，所有正確命題的序號是__．

Answer 1

【答案】②③

【解析】

解：

①,∵x>0時,f(x)=lnx∈(∞,+∞)，

∴不能使得f(x)g(x)=2對一切實數x都成立，故①錯誤；

②,令t(x)=f(x)g(x),則t(x)=x+sinx(x1)=sinx+10恒成立,故函數g(x)=x1是函數f(x)=x+sinx的一個承托函數，②正確；

③,令h(x)=exax,則h′(x)=exa，

由題意，a=0時，結論成立；

a≠0時,令h′(x)=exa=0，則x=lna，

∴函數h(x)在(∞,lna)上為減函數,在(lna,+∞)上為增函數，

∴x=lna時，函數取得最小值aalna；

∵g(x)=ax是函數f(x)=ex的一個承托函數，

∴aalna0，

∴lna1，

∴0<ae，

綜上，0ae，故③正確；

④,不妨令f(x)=2x,g(x)=2x1,則f(x)g(x)=10恒成立,故g(x)=2x1是f(x)=2x的一個承托函數，④錯誤；

綜上所述，所有正確命題的序號是②③。

正確的命題的個數為2.