Question

【題目】已知為等差數列，為等比數列，公比為.令.

（1）若.

①當，求數列的通項公式；

②設，，試比較與的大小？并證明你的結論.

（2）問集合中最多有多少個元素？并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）①；②，證明見解析；（2）3個，證明見解析.

【解析】

（1）①利用數列基本量，結合已知條件，即可容易求得結果；

②用作差法，結合代數運算，即可證明和判斷；

（2）將問題轉化為有多少個解的問題，構造函數，利用導數判斷函數單調性，從而問題得解.

（1）由，得，.

設數列公差為，數列公比為，由，故.

①因為，，，所以數列的公比，所以，.

②答：.證明如下：

因為，，，所以

.

所以.

（2）不妨設，，由.

令，，，原問題轉化為關于的方程

，①

最多有多少個解.

下面我們證明：當時，方程①最多有2個解；時，方程②最多有3個解.

當時，考慮函數，則，

如果，則為單調函數，故方程①最多只有一個解；

如果，且不妨設由得有唯一零點，

于是當時，恒大于0或恒小于0，

當時，恒小于0或恒大于0，

這樣在區間與上是單調函數，

故方程①最多有2個解.

當時，如果.

如果為奇數，則方程①變為，

顯然方程最多只有一個解，即最多只有一個奇數滿足方程①.

如果為偶數，則方程①變為

，由的情形，上式最多有2個解，

即滿足①的偶數最多有2個.

這樣，最多有3個正數滿足方程①.

對于，同理可以證明，方程①最多有3個解.

綜上所述，集合中的元素個數最多有3個.

再由當，，則，，，.

由此，可知集合中的元素個數最多有3個.