Question

【題目】已知圓,直線

（1）求證：直線過定點；

（2）求直線被圓所截得的弦長最短時的值；

（3）已知點，在直線MC上（C為圓心），存在定點N（異于點M），滿足：對于圓C上任一點P，都有為一常數，試求所有滿足條件的點N的坐標及該常數．

Answer 1

【答案】（1）直線過定點（2）

（3）在直線上存在定點，使得為常數

【解析】分析：（Ⅰ）利用直線系方程的特征，直接求解直線l過定點A的坐標．

（Ⅱ）當AC⊥l時，所截得弦長最短，由題知，r=2，求出AC的斜率，利用點到直線的距離，轉化求解即可．

（Ⅲ）由題知，直線MC的方程為，假設存在定點N滿足題意，

則設P（x，y），，得 ，且，求出λ，然后求解比值．

詳解：（Ⅰ）依題意得，

令且，得

直線過定點

（Ⅱ）當時，所截得弦長最短，由題知，

，得， 由得

（Ⅲ）法一：由題知，直線的方程為，假設存在定點滿足題意，

則設， ，得 ，且

整理得，

上式對任意恒成立， 且

解得 ,說以（舍去，與重合），

綜上可知，在直線上存在定點，使得為常數