Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長都相等，D、E分別是CC₁和AB₁的中點，點F在BC上且滿足BF：FC=1：3．
（1）若M為AB中點，求證：BB₁∥平面EFM；
（2）求證：EF⊥BC；
（3）求二面角A₁-B₁D-C₁的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）先連接EM、MF，根據中位線定理得到BB₁∥ME，再由 線面平行的判定定理得到BB₁∥平面EFM，即可．
（2）取BC的中點N，連接AN，再由正三棱柱的性質得到AN⊥BC，再由F是BN的中點可得到MF∥AN，從而得到MF⊥BC、ME⊥BC，再根據線面垂直的判定定理得到BC⊥平面EFM，進而可證明BC⊥EF．
解答：（1）證明：連接EM、MF，∵M、E分別是正三棱柱的棱AB和AB₁的中點，
∴BB₁∥ME，又BB₁?平面EFM，∴BB₁∥平面EFM．
（2）證明：取BC的中點N，連接AN由正三棱柱得：AN⊥BC，
又BF：FC=1：3，∴F是BN的中點，故MF∥AN，
∴MF⊥BC，而BC⊥BB₁，BB₁∥ME．
∴ME⊥BC，由于MF∩ME=M，∴BC⊥平面EFM，
又EF?平面EFM，∴BC⊥EF．
（3）解  取B₁C₁的中點O，連結A₁O知，A₁O⊥面BCC₁B₁，由點O作B₁D的垂線OQ，垂足為Q，連結A₁Q，由三垂線定理，A₁Q⊥B₁D，故∠A₁QD為二面角A₁-B₁D-C的平面角，易得∠A₁QO=arctan
點評：本題主要考查線面平行的判定定理和線面垂直的判定定理．考查立體幾何中的基本定理的應用．