Question

【題目】設函數。

（1）若存在最大值，且，求的取值范圍。

（2）當時，試問方程是否有實數根，若有，求出所有實數根；若沒有，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）沒有實根，理由見解析。

【解析】

試題分析：（1）先求出的定義域和導數，對分，和進行討論，當時，函數有最大值，由得到關于的不等式，解之即可；（2）當時；方程可化為，即，再構造函數和，利用導數法求出它們的最值，即可判斷方程有無實數根。

試題解析：（1）的定義域為，，當或時，在區間上單調，此時函數無最大值，當時，在區間內單調遞增，在區間內單調遞減，所以當時，函數有最大值，最大值，因為，所以有，解之得，所以的取值范圍是。

（2）當時，方程可化為，即，設，則，∴時，，∴在上是減函數，當時，，∴在上是增函數，∴

設，則，∴當時，，即在上單調遞增；當時，，即在上單調遞減；∴，∵，∴數形結合可得在區間上恒成立，∴方程沒有實數根。