Question

【題目】已知f（x）是定義在R上的奇函數，f（x+1）是偶函數，當x∈（2，4）時，f（x）=|x﹣3|，則f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=（ ）
A.1
B.0
C.2
D.﹣2

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵f（x）是定義在R上的奇函數，f（x+1）是偶函數，
∴f（0）=0，f（﹣x）=﹣f（x），f（﹣x+1）=f（x+1），
∴f（x+4）=f[（x+3）+1]=f[﹣（x+3）+1]=f（﹣x﹣2）=﹣f（x+2）
=﹣f[（x+1）+1]=﹣f[﹣（x+1）+1]=﹣f（﹣x）=f（x），
∴函數f（x）是周期為4的周期函數，f（4）=f（0）=0，
∵當x∈（2，4）時，f（x）=|x﹣3|，
∴f（3）=0，f（4）=0，
f（1）=﹣f（﹣1）=﹣f（3）=0，
f（2）=﹣f（﹣2）=﹣f（2）=0，
故f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，
故選：B
【考點精析】利用函數奇偶性的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．