Question

【題目】橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，過坐標原點的直線交于兩點，，面積的最大值為

（1）求橢圓的方程；

（2）是橢圓上與不重合的一點，證明：直線的斜率之積為定值；

（3）當點在第一象限時，軸，垂足為，連接并延長交于點，求的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）根據求出a，根據面積關系求出b；

（2）設出點與的坐標，滿足橢圓方程，計算兩個斜率之積即可得到定值；

（3）先證明是直角三角形，用直角邊乘積的一半表示面積，結合基本不等式或勾型函數求面積最值.

（1）由題可設橢圓的方程，

，，

設，

面積，

最大值為2，即，解得，

所以橢圓的方程為：；

（2）設是橢圓上與不重合的一點，

，，兩式作差：，

即：

則直線的斜率之積，

所以直線的斜率之積為定值；

（3）點在第一象限，，設直線的方程，

由得：，

得，，

直線的斜率，其方程為，

由得：

設，則是方程的兩個根，由韋達定理：

，

，即，

所以，

所以的面積

，設，當且僅當時，，

，

根據勾型函數性質：函數單調遞增，

所以當時，取得最小值，

取得最大值，

即當時，的面積取最大值.