Question

已知二次函數是偶函數且圖象經過坐標原點，記函數．
（I）求b、c的值；
（II）當時，求函數f（x）的單調區間；
（III）試討論函數f（x）的圖象上垂直于y軸的切線的存在情況．

Answer 1

解：（I）∵是偶函數，
∴，
又∵圖象過原點，
∴c=-3
（II）當時，

令f′（x）＞0得函數單調遞增區間是（3，+∞），
令f′（x）＜0得函數單調遞減區間是（0，3），
（III）∵函數f（x）的圖象上垂直于y軸的切線，
∴方程f′（x）=0存在正根，

即5ax²-2x-3=0存在正根，△=4（1+15a）
①當時，△＜0，方程5ax²-2x-3=0無實數根，
此時函數f（x）的圖象上沒有垂直于y軸的切線
②當時，△=0，方程5ax²-2x-3=0根為x=-3，
此時函數f（x）的圖象上存在一條垂直于y軸的切線
③當時，△＞0，方程5ax²-2x-3=0有兩個實數根x₁，x₂，，，方程5ax²-2x-3=0有兩個負實數根
此時函數f（x）的圖象上沒有垂直于y軸的切線
④a＞0時，△＞0，方程5ax²-2x-3=0有兩個實數根x₁，x₂，，方程5ax²-2x-3=0有兩一個正實數根和一個負實數根，此時函數f（x）的圖象上存在一條垂直于y軸的切線
綜上：
當或時，不存在垂直于y軸的切線
當或a＞0時，存在一條垂直于y軸的切線
分析：（1）若函數的圖象經過原點，則常數項為0，若函數為偶函數，則函數的圖象關于y軸對稱，故不難求出b，c的值．
（2）當時，結合（1）的結論不難給出函數導函數的解析式，確定導函數的符號易得函數的單調區間．
（3）如果函數圖象上存在垂直于y軸的切線，則切點處的導數為0，結合導數即可求解．
點評：待定系數法是求函數解析式的常用方法之一，當函數f（x）類型確定時，可用待定系數法．其解題步驟一般為：①根據函數類型設出函數的解析式（其中系數待定）②根據題意構造關于系數的方程（組）③解方程（組）確定各系數的值④將求出的系數值代入求出函數的解析式．