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已知函數，且，的定義域為[0，1]．

(1)求g(x)的解析式；

(2)求g(x)的單調區間，確定其增減性，并試用定義證明；

(3)求g(x)的值域．

答案：略
解析：

解：(1)∵，且，

∴．

∴．

∵，

∴．

(2)∵函數g(x)的定義域[0，1]，

令，∴xÎ [0，1]時，函數t在區間[0，1]單調遞增，

∴tÎ [1，2]，則，tÎ [1，2]．

∵函數在[0，1]上單調遞增，

在[1，2]上單調遞減，

∴g(x)在[0，1]上單調遞減．

證明：設，為區間[0，1]內任意兩值，且，

∴

＝

＝．

∵，

∴且，，

∴．

∴．

∴可知，

∴．

∴函數g(x)在[0，1]上單調遞減．

(3)∵g(x)在[0，1]上減函數，則xÎ [0，1]，有g(1)≤g(x)≤g(0)．

∵，

，∴－2≤g(x)≤0．

故函數g(x)的值域為[－2，0]．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）定義在區間（-1，1）上，f（
1
2
）=-1，且當x，y∈（-1，1）時，恒有f（x）-f（y）=f（
x-y
1-xy
），又數列{an}滿足a1=
1
2
，an+1=
2an
1+
a
2
n
，設bn=
1
f(a1)
+
1
f(a2)
+…+
1
f(an)
．
（1）證明：f（x）在（-1，1）上為奇函數；
（2）求f（an）的表達式；
（3）是否存在正整數m，使得對任意n∈N，都有bn＜
m-8
4
成立，若存在，求出m的最小值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）定義在R上，并且對于任意實數x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且x≠y時，f（x）≠f（y），x＞0時，有f（x）＞0．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）若f（1）=1，解關于x的不等式f(x)-f(
1x-1
)≥2．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•連云港二模）已知函數f（x）定義在正整數集上，且對于任意的正整數x，都有f（x+2）=2f（x+1）-f（x），且f（1）=2，f（3）=6，則f（2009）=
4018
4018
．

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科目：高中數學 來源：數學教研室 題型：044

已知函數，且，的定義域為[0，1]．

(1)求g(x)的解析式；

(2)求g(x)的單調區間，確定其增減性，并試用定義證明；

(3)求g(x)的值域．

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