Question

【題目】已知函數.

（1）當時,討論函數的單調性；

（2）當時,若關于的不等式恒成立,求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數在上單調遞增，在上單調遞減（2）

【解析】

（1）求出函數的導數， 通過討論的范圍， 求出函數的單調區間即可；

（2）問題轉化為恒成立， 設，根據函數的單調性求出的最小值， 從而求出的范圍即可 ．

解：（1）由題意，知.

當，時，有.

當時，；當時，.

函數在上單調遞增，在上單調遞減.

（2）由題意，當時，不等式恒成立.

即恒成立，即恒成立.

設.則.

設，則.

當時，有.

在上單調遞增，且，.

函數有唯一的零點，且.

當時，，，單調遞減；

當時，，，單調遞增.

即為在定義域內的最小值.

.

，得，.

令，.

方程等價于，.

而在上恒大于零，在上單調遞增.

故等價于，.

設函數，.易知單調遞增.

又，，是函數的唯一零點.

即，.

故的最小值.

實數b的取值范圍為.