Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點F在軸上，離心率，點在橢圓C上.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若斜率為的直線交橢圓與、兩點，且、、成等差數列，點M（1,1），求的最大值.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：(1)設出橢圓標準方程，根據已知條件解出即可；（2）由題意可知，直線的斜率存在且不為，故可設直線的方程為，A,B點坐標為,聯立直線和橢圓方程，利用韋達定理得，然后利用直線的斜率依次成等差數列得出，又，所以，即，然后求出弦長，計算三角形面積，求其最大值.
試題解析：1)設橢圓方程為，由題意知
，…①
，…②
聯立①②解得，，所以橢圓方程為        (4分)
2)由題意可知，直線的斜率存在且不為，故可設直線的方程為
滿足，
消去得．
，
且，．
因為直線的斜率依次成等差數列，
所以，，即，
又，所以，
即．                                     (9分)
聯立    易得弦AB的長為  
又點M到的距離 
所以
平方再化簡求導易得時S取最大值        (13分)