Question

【題目】已知函數（其中），，已知和在處有相同的切線．

（1）求函數和的解析式；

（2）求函數在區間上的最大值和最小值；

（3）判斷函數的零點個數，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值，最小值為；（3）一個，理由見解析.

【解析】

（1）利用導數運算性質可得，根據和在處有相同的切線．可得及，聯立解得．

（2）利用導數研究單調性后可得極值，再求出區間端點函數值即可得出所求的最值．

（3）利用導數研究函數的單調性極值，再結合零點存在定理可得出函數的零點個數．

（1）（其中），，

．

，．

和在處有相同的切線．

，解得．

，

（2），．

可得在上單調遞減，在上單調遞增．

時，函數取得極小值即最小值，．

又．

∴時，函數取得最大值，．

綜上可得：函數在區間上的最大值和最小值分別為：．

（3）函數．

．

當時，，故在為增函數；

當時，，故在為減函數；

當時，，故在為增函數；

，，

而，

故在有且只有一個零點，在上無零點，

綜上，有一個零點.