Question

設對任意實數x∈[-1，1]，不等式x²+ax-3a＜0恒成立，則實數a的取值范圍是（　�。�

• A．a＞0
• B．a＞

  1

  2

• C．a＞0或a＜-12
• D．a＞

  1

  4

Answer 1

分析：法一：y=x²+ax-3a的對稱軸是x=-

a

2

．①當-

a

2

≥1時，x=-1時有最大值a＞

1

4

，與a≤-2相矛盾．②當-1＜-

a

2

＜1時，x=-1或x=1時，有最大值．x=-1有最大值a＞

1

4

，故

1

4

＜a＜2；當x=1有最大值1-2a＜0，a＞

1

2

，故

1

2

＜a＜2．③當-

a

2

≤-1，即a≥2時，x=1時有最大值1-2a＜0，a＞

1

2

，a≥2．由此能求出實數a的范圍．
法二：設f（x）=x²+ax-3a，由對任意實數x∈[-1，1]，不等式x²+ax-3a＜0恒成立，知

f(-1)=1-a-3a＜0 f(1)=1+a-3a＜0

，由此能求出實數a的范圍．

解答：解法一：y=x²+ax-3a的對稱軸是x=-

a

2

．
①當-

a

2

≥1，即a≤-2時，x=-1離對稱軸最遠，而函數開口向上，所以有最大值，
其最大值是a＞

1

4

，與a≤-2相矛盾．
∴a∈∅；
②當-1＜-

a

2

＜1，即-2＜a＜2時，
x=-1或x=1時，有最大值．
由①知，x=-1有最大值時，其最大值是a＞

1

4

，故

1

4

＜a＜2；
當x=1有最大值時，其最大值是1-2a＜0，即a＞

1

2

，故

1

2

＜a＜2．
∴

1

2

＜a＜2；
③當-

a

2

≤-1，即a≥2時，
x=1時有最大值，
其最大值是1-2a＜0，a＞

1

2

，
∴a≥2．
綜上所述，a＞

1

2

．
故選B．
解法二：設f（x）=x²+ax-3a，
∵對任意實數x∈[-1，1]，不等式x²+ax-3a＜0恒成立，
∴

f(-1)=1-a-3a＜0 f(1)=1+a-3a＜0

，
即

1-4a＜0 1-2a＜0

，
∴

a＞ 1 4 a＞ 1 2

，故a＞

1

2

．
故選B．

點評：本題考查函數的恒成立問題，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意分類講座思想的合理運用．