Question

（2012•安徽模擬）給出以下命題：
①函數f(x)=|log2x2|既無最大值也無最小值；
②函數f（x）=|x²-2x-3|的圖象關于直線x=1對稱；
③若函數f（x）的定義域為（0，1），則函數f（x²）的定義域為（-1，1）；
④若函數f（x）滿足|f（-x）|=|f（x）|，則函數f（x）或是奇函數或是偶函數；
⑤設f（x）與g（x）是定義在R上的兩個函數，若對任意x₁，x₂∈R（x₁≠x₂）有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|恒成立，且函數f（x）在R上遞增，則函數h（x）=f（x）-g（x）在R上遞增．
其中正確的命題是

②④⑤

（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析：①根據絕對值的性質進行判斷；
②根據對稱軸的公式進行判斷；
③根據抽象函數的定義域的性質進行判斷；
④利用函數的絕對值的性質，對其判斷；
⑤利用函數的單調性的定義和性質進行判斷．

解答：解：①∵函數f(x)=|log2x2|≥0，顯然有最小值，故①錯誤；
②∵函數g（x）=x²-2x-3的對稱軸x=1，
因為函數f（x）=|x²-2x-3|與函數g（x）=x²-2x-3對稱軸一樣，
∴函數f（x）=|x²-2x-3|的圖象關于直線x=1對稱，故②正確；
③若函數f（x）的定義域為（0，1），
則函數f（x²）的定義域為（-1，0）∪（0，1），故③錯誤；
④∵|f（-x）|=|f（x）|，
∴f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x），
∴函數f（x）或是奇函數或是偶函數，故④正確；
⑤∵對任意x₁，x₂∈R（x₁≠x₂）有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|恒成立，
且函數f（x）在R上遞增，
∴函數h（x）=f（x）-g（x）在R上遞增．故⑤正確；
故答案為②④⑤；

點評：此題主要考查二次函數，抽象函數，以及奇偶函數的性質，用定義法判斷函數的增減性，知識點比較多比較全面，是一道小型綜合題，難度不是很大．