Question

22.已知數列{a_n}（n為正整數）是首項為a₁，公比為q的等比數列.

（1）求和：a₁－a₂+a₃，a₁－a₂+a₃－a₄;

 

（2）由（1）的結果歸納概括出關于正整數n的一個結論，并加以證明.

 

（3）設q≠1，S_n是等比數列{a_n}的前n項和，求：

S₁－S₂+S₃－S₄+…+（－1）ⁿS_n+1.

Answer 1

22.

解：（1）a₁－a₂+a₃=a₁－2a₁q+a₁q²=a₁（1－q）²，

a₁－a₂+a₃－a₄=a₁－3a₁q+3a₁q²－a₁q³=a₁（1－q）³.

 

（2）歸納概括的結論為：

若數列{a_n}是首項為a₁，公比為q的等比數列，則

a₁－a₂+a₃－a₄ +…+（－1）ⁿa_n+1·=a₁（1－q）ⁿ，n為正整數.

證明: a₁－a₂+a₃－a₄+…+（－1）ⁿa_n+1

=a₁－a₁q+a₁q²－a₁q³+…+（－1）ⁿ·a₁qⁿ

=a₁［－q+q²－q³+…+（－1）ⁿqⁿ］=a₁（1－q）ⁿ.

 

（3）因為S_n=.

 

所以S₁－S₂+S₃－S₄+…+（－1）ⁿS_n+1

 

=－++…+（－1）ⁿ

 

=［－+－+…+（－1）ⁿ］－

 

［－q+q²－q³ +…+（－1）ⁿqⁿ］

 

=（1－q）ⁿ.