Question

【題目】設， 是橢圓上的兩點，橢圓的離心率為，短軸長為2，已知向量， ，且， 為坐標原點.

（1）若直線過橢圓的焦點，（ 為半焦距），求直線的斜率的值；

（2）試問： 的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）根據條件可得，再設直線的方程為： ，與橢圓聯立方程組，利用韋達定理和已知條件，即可求出的值；（2）先考慮直線斜率不存在的情況，即， ，根據，求得和的關系式，代入橢圓的方程求得點的橫坐標和縱坐標的絕對值，進而求得△AOB的面積的值；當直線斜率存在時，設出直線的方程，與橢圓聯立方程組，利用韋達定理表示出和，再利用，弦長公式及三角形面積公式求得答案.

試題解析：（1）由題可得： ， ，所以，橢圓的方程為

設的方程為： ，代入得：

∴， ，

∵，∴，即：

即，解得：

（2）①直線斜率不存在時，即，

∵

∴，即

又∵點在橢圓上

∴，即

∴，

∴，故的面積為定值1

②當直線斜率存在時，設的方程為，

聯立得：

∴， ，

∴

所以三角形的面積為定值1.