Question

設數列{_n}滿足₁＝，_n＋1＝_n²＋₁，．

(Ⅰ)當∈(－∞,－2)時，求證：M；

(Ⅱ)當∈(0,］時，求證：∈M；

(Ⅲ)當∈(,＋∞)時，判斷元素與集合M的關系，并證明你的結論．

 

Answer 1

【答案】

見解析

【解析】(I) 如果，則，．(2)易采用數學歸納法證明.

（3）本小題難度偏大，一般學生解決不了，可以放棄，放棄也是一種勇氣，也是一種能力.

本小題的思路是對于任意，，且．

對于任意，，

則．所以，．進行到此，問題基本得以解決

證明：（1）如果，則，． ……………2分

（2） 當 時，（）．

事實上，當時，． 設時成立（為某整數），

則對，．

由歸納假設，對任意n∈N^*，|a_n|≤＜2，所以a∈M．…………………6分

（3） 當時，．證明如下：

對于任意，，且．

對于任意，，

則．所以，．

當時，，即，因此