Question

如圖所示，一個帶有圓弧的粗糙滑板A的總質量m_A＝3 kg，其圓弧部分與水平部分相切于P，水平部分PQ長L＝3.75 m。開始時，A靜止在光滑水平面上。現有一質量m_B＝2 kg的小木塊B從滑塊A的右端以水平初速度v₀＝5 m/s滑上A，小木塊B與滑板A之間的動摩擦因數μ＝0.15，小木塊B滑到滑板A的左端并沿著圓弧部分上滑一段弧長后返回，最終停止在滑板A上。
（1）求A、B相對靜止時的速度大小；
（2）若B最終停在A的水平部分上的R點，P、R相距1 m，求B在圓弧上運動的過程中因摩擦而產生的內能；
（3）若圓弧部分光滑，且除v₀不確定外其他條件不變，討論小木塊B在整個運動過程中，是否有可能在某段時間里相對地面向右運動？如不可能，請說明理由；如可能，試求出B既向右滑動，又不滑離木板A的v₀取值范圍。（取g＝10 m/s²，結果可以保留根號）

Answer 1

解：（1）根據動量守恒得：m_Bv₀＝(m_B＋m_A)v　
      解得：v＝v₀＝2 m/s
（2）設B在A的圓弧部分產生的熱量為Q₁，在A的水平部分產生的熱量為Q₂。則有： 
      m_Bv₀²＝(m_B＋m_A)v²＋Q₁＋Q₂　
      又Q₂＝μm_Bg(L_QP＋L_PR)　
      聯立解得：Q₁＝0.75 J
（3）當B滑上圓弧再返回至P點時最有可能速度向右，設木塊滑至P的速度為v_B，此時A的速度為v_A，有：
      m_Bv₀＝m_Bv_B＋m_Av_A
      m_Bv₀²＝m_Bv_B²＋m_Av_A²＋μm_BgL
      代入數據得：v_B²－0.8v₀v_B＋6.75－0.2v₀²＝0
      當v_B的兩個解一正一負時，表示B從圓弧滑下的速度向右，即需：v₀＞5.9m/s，故B有可能相對地面向右運動
      若要B最終不滑離A，有：
      μm_Bg2L≥m_Bv₀²－(m_B＋m_A)(v₀)²
      得：v₀≤6.1m/s
      故v₀的取值范圍為：5.9m/s＜v₀≤6.1m/s