Question

如圖，兩根足夠長的光滑固定平行金屬導軌與水平面成θ角，導軌間距為d，兩導體棒a和b與導軌垂直放置，兩根導體棒的質量都為m、電阻都為R，回路中其余電阻不計．整個裝置處于垂直于導軌平面向上的勻強磁場中，磁感應強度的大小為B，在t=0時刻使a沿導軌向上作速度為v的勻速運動，同時將b由靜止釋放，b經過一段時間后也作勻速運動．已知d=1m，m=0.5kg，R=0.5Ω，B=0.5T，θ=30⁰，g取10m/s²，不計兩導棒間的相互作用力．
（1）若使導體棒b靜止在導軌上，導體棒a向上運動的速度v多大？
（2）若a在平行于導軌向上的力F作用下，以v₁=2m/s的速度沿導軌向上勻速運動，試導出F與b的速率v₂的函數關系式并求出v₂的最大值；
（3）在（2）中，當t=2s時，b的速度達到5.06m/s，2s內回路中產生的焦耳熱為13.2J，求該2s內力F做的功（結果保留三位有效數字）．

Answer 1

分析：（1）根據歐姆定律和安培力及受力平衡求出a的速度；
（2）對b受力分析找到力與速度的關系式，并根據極限情況求出v₂的最大值；
（3）根據第二問中的關系式進行微分求和代入數值即可解得內力F所做的功．

解答：解：（1）設a的速度為v₁，則電動勢為：E=Bdv₁…①
電流為：I=

E

2R

…②
b受到的安培力為：F=BId…③
對b受力分析如圖，由平衡條件知：
F=mgsinθ…④
由①②③④式得：v₁=10m/s  
（2）設a的速度為v₁，b的速度為v₂，回路電流為I，
則：I=

E1+E2

2R

=

Bd(v1+v2)

2R

導體棒受到的安培力為：F′=B2d2(v1+v2)

1

2R

對a棒受力分析知：mgsinθ+B2d2(v1+v2)

1

2R

=F
代入數據得：F=3+

v2

4

（N）
設最大速度為v_m，對b棒受力分析知：

B2d2(v1+vm)

2R

=mgsinθ
數據得：v_m=8m/s 
（3）對b受力分析有：mgsinθ-F_A=ma  
解得：F_A=B2d2(v1+v2)

1

2R

即：mgsinθ-B2d2(v1+v2)

1

2R

=ma
用微元法計算b棒的位移，取任意無限小△t時間，b棒位移為v₂△t
對上式兩邊同乘以△t得：mgsinθ△t-B2d2(v1+v2)

1

2R

△t=ma△t 
代入數據并求和得：8t-x₂=2v₂ 
將t=2s，v₂=5.06m/s代入上式得：x₂=5.88m  
a的位移為：：x₁=v₁t=2×2=4m
由功能關系知：W_F=

1

2

mv

2 2

+mgx₁sinθ-mgx₂sinθ+Q
代入數據得：W_F=14.9J   
答：（1）若使導體棒b靜止在導軌上，導體棒a向上運動的速度為10m/s．
（2）a在平行于導軌向上的力F作用下，以v₁=2m/s的速度沿導軌向上勻速運動，F=3+

v2

4

（N），最大速度為8m/s．
（3）在（2）中，當t=2s時，b的速度達到5.06m/s，2s內回路中產生的焦耳熱為13.2J，求該2s內力F做的功為14.9J．

點評：此題考查的知識點比較多，對學生的數學知識的應用也要求比較高，是一道綜合性較強的題目．