Question

如圖所示，AB和CD為兩個對稱斜面，其上部足夠長，下部分分別與一個光滑的圓弧面的兩端相切，圓弧圓心角為120°，半徑R=2.0m，一個質量為m=1kg的物體在離弧高度為h=2.0m處，以初速度4.0m/s沿斜面運動，若物體與兩斜面間的動摩擦因數μ=0.02，重力加速度g=10m/s²，則：
（1）物體在斜面上（不包括圓弧部分）一共能走多長路程？
（2）物體對圓弧最低點的最大壓力和最小壓力分別為多少？

Answer 1

分析：（1）分析物體運動過程可知，由于能量損失，物體最終在B、C之間往復運動，根據能量守恒定律物體減少的機械能等于系統產生的內能，列出表達式即可求解總路程．
（2）物體第一次到達最低點時速度最大，對圓弧壓力最大．當物體在BC間往復運動，到達最低點時對圓弧最低點壓力最小．先根據動能定理求出物體經過最低點時的速度大小，再根據牛頓第二、第三定律求解物體對圓弧最低點的壓力．

解答：解：（1）根據題意可知，由于斜面有摩擦，圓弧光滑，所以物體經過多次上下運動最終將在B、C之間往復運動，則
由動能定理得 mg（h-

1

2

R）-μmgLcos60°=0-

1

2

mv₀²
解得：L=280m．
（2）物體第一次到達最低點時對圓弧壓力最大
 mg（h-

1

2

R）-μmg cos60°

h

sin60°

=

1

2

mv₁²-

1

2

mv₀²     
在E點時，有N_max-mg=m

v 2 1

R

   
解得 N_max=47.77N    
由牛頓第三定律得   N_max′=N_max=47.77N
即物體第一次到達最低點時對圓弧壓力最大為47.77N．
物體在BC間往復運動到達最低點時對圓弧最低點壓力最小，則 根據機械能守恒定律得
  mg

1

2

R=

1

2

mv₂²    
在E點時，有 N_min-mg=

m v 2 2

R

  
解得 N_min=20N    
由牛頓第三定律得   N_min′=N_min=20N
故物體對圓弧最低點壓力最小為20N．
答：
（1）物體在兩斜面上一共能走280m．
（2）物體對圓弧最低點的最大壓力和最小壓力分別為47.77N和20N．

點評：本題屬于多過程問題，由于機械能損失，物體最終在B、C之間做往復運動，要知道摩擦生熱與總路程有關，根據能量守恒定律即可求解．