Question

如圖所示，質量為m=0.4 kg的滑塊，在水平外力F作用下，在光滑水平面上從A點由靜止開始向B點運動，到達B點時外力F突然撤去，滑塊隨即沖上半徑R=0.4 m的1/4光滑圓弧面小車，小車立即沿光滑水平面PQ運動。設：開始時平面AB與圓弧CD相切，A、B、C三點在同一水平線上，令AB連線為X軸，且AB=d=0.64 m，滑塊在AB面上運動時，其動量隨位移的變化關系為P=1.6X kg m/s。小車質量M=3.6 kg，不計能量損失。求：

（1）滑塊受水平推力F為多大?

（2）滑塊通過C點時，圓弧C點受到壓力為多大?

（3）滑塊到達D點時，小車速度為多大?

（4）滑塊能否第二次通過C點?若滑塊第二次通過C點時，小車與滑塊的速度分別為多大?

（5）滑塊從D點滑出再返回D點這一過程中，小車移動距離為多少?（g取10 m/s²）

Answer 1

（1）由P=1.6=mv，代入x=0.64 m，可得滑塊到B點速度為：

V_B=1.6/m=1.6=3.2 m/s

A→B，由動能定理得：FS=Mv_B²

所以F=Mv_B²/（2S）=0.4×3.2²/（2×0.64）N=3.2 N

（2）滑塊滑上C立即做圓周運動，由牛頓第二定律得：N-mg=mV_c²/R，而V_c=V_b，則N=mg+mV_c²/R=14.2 N

（3）滑塊由C→D的過程中，滑塊和小車組成系統在水平方向動量守恒，由于滑塊始終緊貼著小車一起運動，在D點時，滑塊和小車具有相同的水平速度V_DX。由動量守恒定律得：mV_C=（M+m）V_DX

所以V_DX=mV_C/（M+m）=m/s=0.32 m/s

（4）滑塊一定能再次通過C點。因為滑塊到達D點時，除與小車有相同的水平速度V_DX外，還具有豎直向上的分速度V_DY，因此滑塊以后將脫離小車相對于小車做豎直上拋運動（相對地面做斜上拋運動）。因題中說明無能量損失，可知滑塊在離車后一段時間內，始終處于D點的正上方（因兩者在水平方向不受力作用，水平方向分運動為勻速運動，具有相同水平速度），所以滑塊返回時必重新落在小車的D點上，然后再圓孤下滑，最后由C點離開小車，做平拋運動落到地面上。由機械能守恒定律得：

mV_C²=mgR+（M+m）V_DX²+mV_DY²

所以V_DY=m/s=1.1 m/s

以滑塊、小車為系統，以滑塊滑上C點為初態，滑塊第二次滑到C點時為末態，此過程中系統水平方向動量守恒，系統機械能守恒（注意：對滑塊來說，此過程中彈力與速度不垂直，彈力做功，機械能不守恒）得：mV_C=mV_C′+MV，即mV²_C=mV′²_C+MV²

上式中V_C′、V分別為滑塊返回C點時滑塊與小車的速度，V=2mV_C/（M+m）=2×0.4×3.2/（3.6+0.4）m/s=0.64 m/s

V_C′=（m-M）V_C/（m+M）=（0.4-3.6）×3.2/（0.4+3.6）m/s=-2.56 m/s（與V反向）

（5）滑塊離D到返回D這一過程中，小車做勻速直線運動，前進距離為：

ΔS==0.32×2×1.1/10 m≈0.07 m